碰撞、守恒与分析力学

----牛顿力学之后的力学分析化

《老子》第一章开篇就说：“道可道，非常道。 名可名，非常名。                无名，天地之始；有名，万物之母。故常无欲以观其妙；常有欲以观其徼。此两者，同出而异名，同谓之玄。玄之又玄，众妙之门。”这段话就道出了事物的规律性以及研究事物的概念化的问题，科学研究的发展，就是遵循着这一“玄之又玄”的基本道路的。

    牛顿三大定律及万有引力定律建立之后，天上地下的力学问题原则上都可以得到解决。但是，牛顿理论体系本身还有不完善之处，而且，应用实践中出现了越来越多、越来越复杂的力学问题，但用牛顿定律实际上无法解决。

 

笛卡尔是第一个提出运动量守恒原理的。他认为，整个宇宙是由物质及其运动组成的，碰撞是使物体改变其运动的唯一原因，因此，他把解决碰撞问题视为新物理学的首要问题。笛卡尔认为宇宙是万能的上帝创造出的一台机器，一定是一旦启动起来就永无休止地运动，这就需要运动量守恒作保证。笛卡尔将运动量定义为“质量与速率的乘积”，这一运动量就只是一个标量。

  笛卡尔提出的动量守恒原理反而使他自己神圣的宇宙机器遇到了麻烦，因为它不能完全决定两物体碰撞后的速率。两个完全没有弹性的物体相碰撞后会粘在一起，粘在一起后的速度为零。这个结果意味着运动量会越来越小，除非碰撞都是完全弹性碰撞，而这又是不可能的。

        克里斯蒂安.惠更斯，荷兰人，是与牛顿同一时代的另一伟大的物理学家，他在数学、天文学、物理学、光学等方面都有独到的发现与创造，牛顿称他是“德高望重的惠更斯”，是“当代最伟大的几何学家”。最出色的是他对摆的研究，他发现单摆只是近似等时，真正等时的摆动轨迹不应是一段圆弧而应是一段摆弧。他根据他研究的摆动的基本原理于1665年造出了人类历史上第一台摆钟献给了荷兰政府。

    惠更斯在研究碰撞问题时得出了正确的动量守恒原理，他将动量定义为“物体的质量和速度的乘积”。因为速度是一个矢量，动量也是矢量，这一守恒原理在任何情况下都成立，但它依然不能完全决定碰撞后两物体的速度。惠更斯在做完全弹性碰撞实验时又发现，除了动量守恒外还有一个量也是守恒的，即“质量与速度平方的乘积”，他把这个量称作为“活力”，即两个物体在碰撞前后活力之和保持不变。虽然他给出的仍然只是弹性碰撞条件，但这却是能量守恒原理的先驱。

牛顿定律加上一定条件下的动量和活力守恒原理，可以十分有效地解决质点力学问题，但牛顿的矢量方法在处理多质点、多约束、非直角坐标系等复杂问题是又显得不够。18世纪的数学家们创立的分析力学，以先进的数学工具重新表述了牛顿力学体系。

分析力学主要表现为三个方面：

一、以更普遍的原理代替牛顿定律；

二、以“能量”和“功”等标量函数代替力和动量这样的几何矢量；

三、引入广义坐标，化欧式几何问题为纯代数问题。

  约翰.伯努利是瑞士巴塞尔一个著名数学家祖的第二代传人，他的儿子是丹尼尔.伯努利，也是一位世界著名的数学家。他在1717年提出：对于任何一组力作用下保持平衡的物体系统来说，我们可以假定它有一个小小的位移，显然随之每一个力的作用点都会相应有一个小小的位移，那么，各个力与其相应位移的乘积之和应该为零。这个假定的小小的位移就是虚位移，而这个原理也就称为虚位移原理。由此可以解决多个质点力学问题。后来人们知道，力与位移之乘积实际上就是功，因此虚位移原理后来也称为虚功原理。

    达朗贝尔是一位被遗弃的私生子，后被一对制玻璃的工人夫妇收养，后来生身父出资让他接受教育。他在数学和哲学上显露出惊人的才能，他的生母试图认她，他说：“玻璃工人的妻子就是我的母亲。”他与狄德罗一起主编了《百科全书》，1743年，26岁的他就发表了《论动力学》，在这一书中提出了分析力学中极为重要的达朗贝尔原理。

达朗贝尔把作用于物体系统所有质点的力分解为外力和内力，内力相互抵消，对整个系统的运动没有影响，而加于每一质点的外力就可以看成独立的决定该质点的运动。正像虚位移原理处理静力学问题一样，达朗贝尔原理处理的动力学问题。

最小作用原理，是欧拉和莫培督共同做出的贡献。

    欧拉生于瑞士巴塞尔，就读巴塞尔大学，约翰.伯努利是           他的数学老师，他具有惊人的记忆力和非凡的数学才能。他常常怀抱着婴儿写作数学论文，家人两次喊他吃饭的空间就能写出一篇数学论文。后人评说：“欧拉计算毫不费力，就像人呼吸或者鹰在风中保持平衡一样。”双目失明后丝毫没有影响他的数学创造工作，所有的数学公式全都记在他的脑子里，他可以靠心算解决当时一个明眼人也不能解决的复杂的月球运动问题。

欧拉把他的数学才能广泛地运用到他碰到的每一个应用问题上，用自己发明的变分法直接孕育了力学中最小作用原理。所谓最小作用原理，是指自然界的结构总是取一种最经济、最简单的方式。如光线以直线方式传播。当时法国数学家莫培督最早提出这一原理，他把“作用”定义为“质量、速度和所经距离的乘积的积分”，并且认为在孤立系统中这一积分必定取最小值，用这个原理他证明了以前自己不相信的光的折射定律。欧拉十分赞同莫培督的这一原理，认为上帝在创造宇宙时必定是按照这一原理，他也证明了对于沿着平面曲线的任何运动，莫培督意义上的“作用”确实是最小的。

    拉格朗日被拿破仑称之为“数学科学高耸的金字塔”。祖上是法国人，生于意大利都灵。他早期对古典文学感兴趣，接触过阿基米德的几何学，后来在读哈雷的关于为积分优于几何方法的文章，顿时被迷住了。他通过自学掌握了当时的数学分析，16岁当上了都灵皇家炮兵学校的数学教授，指导那些比他大的学生研究数学，成立学会，出版杂志，后来发展成为都灵科学院。

这时他开始构思“分析力学”：由分析的方法推出包括固体力学和流体力学在内的所有力学。他独自发明的变分法正是分析力学的重要工具。拉格朗日把他的变分法送给欧拉，欧拉当时也正在研究变分法，为了让这位年轻的数学家获得他应该得到的荣誉，欧拉谎称自己还没有解决这一问题，鼓励他尽快发表论文。直到拉格朗日论文发表后，欧拉才发表自己的论文。

1766年应邀到柏林就任科学院物理—数学部主任，在那里完成了《分析力学》。书中他提出了著名的拉格朗日方程，由虚功原理和达朗贝尔原理可以得到所谓的“力学普遍方程”。在此基础上，拉格朗日进一步引进了广义坐标、广义速度和广义力，将力学普遍方程改造成拉格朗日方程。这个方程相当于牛顿第二定律，但它更加普遍化，更加数学化，适用于几乎一切力学系统。

力学规律的发现及研究，从亚里士多德，到伽利略与牛顿，再到惠更斯，再到欧拉与拉格朗日的分析力学，我们就会知道为什么老子说“道可道，非常道。名可名，非常名。”我们更能体会出科学研究的“玄之又玄”的精妙之处。