数学家苦恼了几千年的芝诺悖论

公元前5世纪左右，南意大利的爱利亚出现了一个新的哲学学派，史称爱利亚学派。他们的领袖是巴门尼德，芝诺就是其中的一位重要成员。爱利亚学派主张存在是“一”，而“杂多”的现象是不真实的；他们主张世界的本质是静止的，运动只是假象。就如同中国老子在《道德经》中提出的 “道生一，一生二，二生三，三生万物。万物负阴而抱阳，冲气以为和。”“昔之得一者：天得一以清；地得一以宁；神得一以灵；谷得一以生；侯得一以为天下正。” “夫物芸芸，各复归其根。归根曰静，静曰复命。”中的“一”与“静”观点相似。

芝诺提出了一个著名的运动是假象的论证，这个论证虽说看起来是很荒谬的，但由于它触及到科学概念中的一些根本性问题，确实让数学家们为此苦恼了几千年。芝诺悖论一共有四个：

第一个悖论叫做“二分法”。

芝诺说，任何一个物体要想由A点运行到B点，必须首先到达AB的中点C，而要想到达C点，又必须首先到达AC的中点D，要想到达D点，则必须先到达AD的中点，等等，这个二分过程总是可以无限的进行下去，这样该物体就不可能离开A点运动，哪怕一丁点儿。

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A     E     D           C                       B

第二个悖论叫做“阿喀琉斯”。

阿喀琉斯是希腊神话传说中的善跑者，他是参加特洛伊(Troy)战争的惟一一个半人半神。他总是携带一个由7层厚牛皮制成的盾，他作战的风格和其他英雄不同，不用神灵或者巫术的帮助。希腊联军围攻特洛伊时，希腊大将阿基里斯因其奴隶女友被人带走，负气不肯出战，阿喀琉斯独自迎战特洛伊人，击退来犯的敌军。

阿喀琉斯是海洋女神忒提斯（Thetis）和凡人英雄珀琉斯（Peleus）所生。在阿喀琉斯出生后，他母亲忒提斯倒提一只脚把他浸入冥河，也有人说是把他放在天火里锻烧，使他周身刀箭不入，唯有脚后跟由于没有浸到河水，而成为他惟一致命之处，最终使他死在了帕里斯的箭下，被人们称为“阿喀琉斯之踵”。

芝诺在这一悖论中论证了阿喀琉斯追不上一只乌龟。乌龟起跑时在阿喀琉斯的前面，有一定的距离。那么，阿喀琉斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟开始起跑的位置，但无论阿喀琉斯跑得有多快，当他追到乌龟起跑所在的位置时，乌龟又已经跑到前面去了，乌龟虽然跑得很慢，但它毕竟在跑。阿喀琉斯要想追上乌龟，他要面面临着前面同样的问题：他必须再次跑到乌龟此刻的位置，等他跑到了，完全同样的问题又出现了，这样的问题可以无限次的出现阿喀琉斯的面前。所以，芝诺下结论说：虽然阿喀琉斯跑得很快，他也只能一步一步逼近乌龟，但他却永远追不上它，乌龟总是在他前头，在他与乌龟之间总有一段距离需要跑，虽然这个距离越来越短，可“总有”。

第三个悖论叫做“飞矢不动”。

芝诺说，任何一个东西老呆在一个地方，那就叫做不动，可是飞动着的箭矢在任何一个时刻不也是呆在一个地方吗？既然飞矢在任何一个时刻都呆在一个地方，那我们就可以说飞矢不动。因为，运动是地方的变动，而在任何一个时刻飞矢的位置并不变化，所以任何一时刻的飞矢是不动的，既然任何一时刻的飞矢不动，那飞矢当然就是不动的。

第四个悖论叫做“运动场”。

“运动场”说的是运动场上有三列物体的相对运动所造成的谬误。假设有A、B、C三列物体按如下方式排列：

A A A A

B B B B

C C C C

又假定每一时间单元B和C相对于A运动一个空间单元，但方向相反，于是，在一个时间单元之后三列物体排列如下：

A A A A

B B B B

C C C C

两个时间单元之后排列如下：

A A A A

B B B B

C C C C

问题出现在，在经过一个时间单元后，B与C相互之间却有了两个空间单元的移动，经过两个时间单元后，B与C却有了四个空间单元的移动。若想B与C只有一个空间单元的移动，那么，对应的是半个时间单元，B相对于A移动一个空间单元需要一个时间单元，而相对于C移动一个空间单元却需要半个时间单元，这表明一个时间单元等于半个时间单元。

芝诺的这四个悖论可以分为两组。前两个是一组，假定时间空间是连续的，后两个是第二组，假定时间空间是间断的；每组的第一个悖论表明孤立物体的运动是不可能的，都会出现荒谬的事情。

芝诺悖论的特点是道理简单，内容也不复杂，让人一听就明白，但其结论却出人意料之外。人们免不了觉得这肯定是诡辩，一定可以找出其问题所在。从亚里士多德开始，大多是哲学家都力图指出芝诺的论证错误。可是令人奇怪的是，这个问题至今也未能彻底解决，许多前人指出的错误，后人发现其实并不是错误。

比如，以“阿喀琉斯”这个悖论为例，中学生都懂得如何计算阿喀琉斯追上乌龟应该花的时间。设阿喀琉斯的速度是v₁，乌龟的速度是v₂，他们的初始距离是d，那么追上乌龟的时间就是d/(v₁-v₂)。既然我们都能算出需要多长时间才能追上，我们还有什么理由说他永远追不上乌龟呢？芝诺如果听了这样的话，他一定会笑着说：“我当然知道阿喀琉斯能够追上乌龟，可是问题在于这不符合道理，从道理上讲是永远追不上的，你们若想说服我，就必须把道理说出来，光举日常生活中的例子，那是没有用处的。”

事实上，我们之所以能够算出阿喀琉斯追上乌龟的时间，是因为我们是根据一个方程而得出的公式，这个公式是这样得出的：

设阿喀琉斯能够在T时间内追上乌龟，列方程：

d+v₂T=v₁T

然后，整理方程式：

T= d/(v₁-v₂)

列出这个方程是很容易的，但有一个假设，那就是假定阿喀琉斯最终追上了乌龟，而且设追上的时间为T。这也就是说，虽然我们求出了追上乌龟的时间，但那是我们先假定能追上才得出的。并不能因为我们求出了时间，就证明了能追上。

现代数学运用极限理论和微积分可以得出相同的结果。我们可以把阿喀琉斯要跑的距离全部列出来，尽管这个数列有无穷多个项，但其总数并不是个无限大数目，而是一个有限的数目：

dv₁/(v₁-v₂)

用它除以v₁，就与我们刚才运用简单公式算出的时间一样了。

这样我们可以发现，芝诺只是把项目的无穷多与总和数的无穷大混为一谈，才造成阿喀琉斯追不上乌龟的荒谬结论呢？

但是，还是不能这样说，对芝诺来说，即使总和并非无穷大，无穷个步骤也是难以完成的。阿喀琉斯尽管可以越来越接近乌龟，距离越来越小，越来越容易完成，可是面对着无限多个步骤，阿喀琉斯这个有限的人物，怎么可能完成呢？

芝诺悖论涉及到对时间、空间、无限、运动的看法，他至今还在困扰着哲学家和数学家，但这个难题却对数学的发展有着重要的作用。这正像老子在《道德经》开篇第一章中所说：“道可道，非常道。名可名，非常名。无名，天地之始；有名，万物之母。故常无欲以观其妙；常有欲以观其徼。此两者，同出而异名，同谓之玄。玄之又玄，众妙之门。”

摘自吴国盛著《科学的历程》（北京大学出版社）